Fpolis, setembro 1999

10 × S3

Prove que todos os grupos descritos abaixo pertencem à mesma classe de isomorfismo.

  1. $ S_{3}$
  2. $ Aut(\mathbb{Z}_{2}×\mathbb{Z}_{2})$
  3. $ Aut(S_{3})$
  4. $ gen[ u(z)\!=\!e^{i2\pi/3}\!\cdot\!z \ ,\ v(z)\!=\!\bar{z} ]\quad\subset\quad\mathbb{C}^{\mathbb{C}}$.
  5. $ gen[ \begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix}\ \ ,\ \ \begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix} ]\quad\subset\quad GL(2,\mathbb{Z})$
  6. $ D_{3}$
  7. $ gen[ f(x)=\frac{1}{1-x}\quad,\quad g(x)=\frac{1}{x} ]\quad\subset\quad\mathbb{R}[x]$
  8. $ G=\big(a,b\ ;\ a^{3},b^{2},(ab)^{2}\big)$
  9. $ GL(2,\mathbb{F}_{2})$
  10. O menor possível grupo não-abeliano.

Notação $ gen[ U ]$ significa grupo gerado por elementos do conjunto $ U$. Tendo inclusão $ U\subset X$ em um grupo (ou semigrupo) $ X$ fica claro de qual operação se trata.

$ A^A$ é o conjunto de todas as funções $ f:A\longrightarrow A$.

$ \mathbb{K}[x]$ é o corpo de funções racionais da variável $ x$ sobre corpo $ \mathbb{K}$.

$ GL(n,\mathbb{K})$ é o grupo de todas as matrizes inversíveis $ n×n$ com elementos em corpo (anel) $ \mathbb{K}$.

$ (A\ ;\ B)$ denota a apresentação (presentation) de um grupo: $ A$ é um conjunto de (abstratos) geradores, os elementos de $ B$ junto com os seus conjugados geram um subgrupo que é aniquilado (núcleo de um homomorfismo).