Florianópolis, wrzesień 1999

10 × S3

Pokaż, że te wszystkie grupy należą do tej samej klasy izomorfizmu.

  1. $ S_{3}$
  2. $ Aut(\mathbb{Z}_{2}×\mathbb{Z}_{2})$
  3. $ Aut(S_{3})$
  4. $ gen[ u(z)\!=\!e^{i2\pi/3}\!\cdot\!z \ ,\ v(z)\!=\!\bar{z} ]\quad\subset\quad\mathbb{C}^{\mathbb{C}}$.
  5. $ gen[ \begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix}\ \ ,\ \ \begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix} ]\quad\subset\quad GL(2,\mathbb{Z})$
  6. $ D_{3}$
  7. $ gen[ f(x)=\frac{1}{1-x}\quad,\quad g(x)=\frac{1}{x} ]\quad\subset\quad\mathbb{R}[x]$
  8. $ G=\big(a,b\ ;\ a^{3},b^{2},(ab)^{2}\big)$
  9. $ GL(2,\mathbb{F}_{2})$
  10. Najmniejsza możliwa grupa nieabelowa.

Zapis $ gen[ U ]$ znaczy grupa wygenerowana przez zbiór U. Powinno być jasne jaka jest operacja grupowa gdy jest inkluzja $ U\subset X$ w grupie X.

$ A^A$ to zbiór wszystkich funkcji $ f:A\longrightarrow A$.

$ \mathbb{K}[x]$ to ciało funkcji wymiernych zmiennej x nad ciałem $ \mathbb{K}$.

$ GL(n,\mathbb{K})$ to grupa wszystkich odwracalnych macierzy $ n×n$ z elementami w ciele (lub pierścieniu) $ \mathbb{K}$.

$ (A\ ;\ B)$ oznacza prezentację grupy: $ A$ to zbiór (abstrakcyjnych) generatorów, elementy z $ B$ razem ze sprzężonymi z nimi generują podgupę, która jest wyzerowana (jądro homomorfizmu).