Teorema de Ptolomeu
Precisamos de um quadrilátero inscrito em uma circunferência para poder
aplicar o teorema sobre igualdade dos ângulos vistos da mesma corda. As
letras maiúsculas denotam os comprimentos dos segmentos, as letras
minúsculas – os correspondentes ângulos vistos dos segmentos
considerados como cordas.
Para tal quadrilátero temos a seguinte relação entre os comprimentos dos
lados e das diagonais:
AC+BD=MN
Eis a demonstação.
Cada um dos ângulos a,b,c,d aparece duas vezes – marcamo-nos para todas
as possibilidades, assim como isto é feito para o ângulo a no seguinte
esboço.
Recebemos este efeito:
Agora na diagonal N achamos o ponto que produz mais uma vez o ângulo
c.
Este ponto separa a diagonal N em dois segmentos, portanto temos N=X+Y.
Usamos a semelhança dos triângulos que têm os ângulo a e c.
Em seguida, usamos a semelhança dos triângulos que têm os ângulos a e
b+c.
Duas linhas de cálculos terminam a demonstração.
