Não posso chamar as seguintes linhas de uma “tradução”. Peguei as frases iniciais da “La géométrie” de Descartes e as – digamos – adaptei a linguagem de hoje. Quis obter a fidelidade ao sentido e não ao verbo. Note que o texto foi escrito há 360 anos, desde então havia mudanças tanto em sentido de termos específicos quanto no modo de compor as frases ou conduzir os argumentos.

Qualquer construção geométrica pode ser descrita desse modo que o conhecimento de comprimentos de certos intervalos já leva a execução dela. Assim como a aritmética consiste de quatro ou cinco operações (quer dizer: adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes – e esta operação pode ser vista como uma espécie de divisão), também em geometria para achar intervalos desejados precisa-se apenas adicionar ou subtrair outros intervalos – ou usar uma das operações seguintes: tomando um intervalo escolhido a vontade chamo-o de unidade (e faço isso para sugerir maior possível semelhança com os números) e tendo dois outros intervalos busco o quarto que será tão relacionado com um deles como o outro com a unidade (e esse processo seria o mesmo que a multiplicação). Depois (para aqueles dois intervalos) busco o quarto que tem-se a um deles como a unidade ao outro (e esta vez teria a divisão). Finalmente, busco uma ou algumas médias entre a unidade e um dado intervalo (e agora teria a extração de raiz quadrada, cúbica etc). E não hesitarei de introduzir esses termos aritméticos para a geometria em nome de maior clareza.

Não sou adepto de “embelezamento histórico” de textos matemáticos. Se um livro de geometria analítica menciona que “coordenadas cartesianas foram introduzidas por Descartes” e coloca uma ilustração do dito cujo (sequer explicando o grau de confiabilidade dela) mas nem toca no assunto de sentido dessa frase sobre “introdução”, os estudantes estão levados mais em direção do preconceito do que de conhecimento. Surge uma convicção que antes do Descartes ninguém entenderia a frase do tipo “vá 100 passos em direções daquela árvore e depois 25 passos para direita”. Mas… será que o Colombo não usava os mapas? Ou só depois de Descartes foram inventadas as direções de leste-oeste e norte-sul? Obviamente há algum ponto mais fino nesta estória.

Bem, desde os tempos de Tales sabia-se que a única interpretação geométrica do produto de dois comprimentos é uma área do retângulo com as adequadas arestas. Foi uma grata surpresa quando com a frase citada acima Descartes sugeriu a receita: “pegue os intervalos com comprimentos 1, a, b ajeite-os como mandam as hipóteses do teorema de Tales para que o seu esboço corresponda à proporção a:1 = x:b o quarto intervalo que surge da construção tem justamente o comprimento x = ab”. É surpreendente que durante 2300 anos¹⁾ ninguém se deu conta das possibilidades que oferecia o teorema de Tales – mesmo que esse resultado fazia parte indispensável da instrução.

A conseqüência da invenção não era a capacidade de marcar no plano um ponto designado por dois números – digamos 5 e 7 – que corresponderiam às quantias adequadas de certas unidades, traçadas em duas direções – mas a capacidade de marcar pontos descritos por duas expressões envolvendo variáveis e operações aritméticas! O trabalho de Vieta em décadas anteriores consolidou o uso de símbolos gráficos para constantes e variáveis²⁾ – mas agora a capacidade de construir um ponto designado – por exemplo – por x e x ² abria o caminho de duas vias entre a geometria e a aritmética. Portanto a revolução cartesiana apoiava-se em criação da reta numérica. Ou talvez semi-reta, pois a interpretação de “números negativos” como pontos da reta surgiu uns trinta anos mais tarde como efeito de estudos da obra de Descartes, estudos feitos por Isaac Newton.

volteSabia-se há tempo que também um tal de Bombelli no século XVI percebeu isso – a descrição dele foi achada no manuscrito e publicada no século XX. Alguns anos atrás os historiadores da ciência descobriram que Bombelli já divulgou essa descrição no seu livro “Álgebra” publicado ainda em 1572. Portanto, a rigor, o trabalho do Descartes não era em 100% original e inédito – mas foi primeiro que teve uma significativa divulgação e influência social.

volteUma citação curta mas ilustrativa da escrita de Vieta do final de século XVI:

Bem, de que se trata? Que tipo de condecoração é essa? Quando é concedida? Algum dos ganhadores da medalha de Fields já atuou no Brasil?

Qual foi a palavra (por sinal bastante cotidiana e natural) que originalmente designava a relação entre comprimentos de um dos catetos e da hipotenusa? Por que esse termo tornou-se uma baía?

Pois bem, vejo que várias pessoas responderam a pergunta sobre o seno copiando fielmente os aleatórios pedaços das páginas 56-59 do livro de Oscar Guelli. O livro é bom, mas para ler – não para reproduzir.

E não se deram trabalho de ler ainda a página 54, onde consta que Ptolomeu construiu a tabela de cordas percorrendo os ângulos de 30' em 30'… Lendo isso talvez dariam menos destaque para a tabela criada 500 anos mais tarde na Índia com ângulos pulando o valor de um quarto de 15°. Por sinal, o livro de Guelli não menciona a precisão do Ptolomeu – e é algo admirável: 5 algarismos após a vírgula!

Um   poema   e   a   geometria

Permita que cito aqui um pequeno poema:

Traduzindo de russo:

Vladimir Buritsh

Teorema de tristeza

Em um ângulo de cotovelo
Está inscrita a círcunferência da cabeça.

Não precisa
provar nada

De que se trata aqui? Quer dizer: como pôr este quadro em outras palavras?

Você pode dar um outro exemplo com alguma descrição de estado emocional de uma pessoa em termos de simples noções geométricas?

Talvez o mais impressionante foi a incapacidade geral de se lembrar de tais palavras usadas na descrição de uma pessoa como curvado, cabisbaixo, dobrado, de braços abertos ou outros.

Onde surgiu esta expressão? Qual é a sua tradução? Qual é o seu sentido?

Por favor, nada de metafísica ou improviso. O material é escasso mas muito concreto. Lembre-se que um paleontólogo precisa menos – as vezes só um pedaço de dente – para propor hipóteses sobre o corpo do bicho e o seu hábitat. Aprenda enxergar a riqueza de informações transmitidas em poucas palavras.

Muitas informações sobre George Pólya, o herói da última pergunta de 1%, você achará no endereço Polya.html. Aqui vou traduzir algumas frazes, só para despertar o interesse para uma das impressionantes figuras da vida matemática deste século.

Doutorado de matemática em Budapest em 1912. Estudou o direito mas o considerou chato. Passou para línguas e literatura. Para compreender a filosofia passou a estudar a matemática. Uns tempos depois brincou: sou bom demais para filosofia e não bastante bom para física. A matemática está no meio caminho.

Antes de mudar (da Alemanha) para os Estados Unidos escreveu em alemão o esboço do livro How to solve it. Tentou com quatro editores até achar um em USA que publicaria a versão inglesa. O livro vendeu mais de um milhão de cópias.

Há várias famosas expressões dele; quase sempre uma forma jocosa encobre uma reflexão profunda. Algumas citações:

• Se você não consegue resolver um problema, deve ter um outro problema mais fácil que também você não consegue resolver; pois encontre-o.
• Qual é a diferença entre método e truque? Um método é um truque que se usa duas vezes.
• Se introduzida no momento ou lugar errado, a boa lógica pode ser o pior inimigo do bom ensino.
• Até razoavelmente bons estudantes, tendo obtido a solução do problema e escrito a argumentação, fecham o livro e passam para a próxima tarefa. Fazendo-o percam uma fase importante e instrutiva do trabalho... problema algum jamais está resolvido completamente.

…o empresário brasileiro não teve funcionários que tivessem o conhecimento eficaz na área matemática e também na tradução… Muitas acusações com base nula.

… uma editora sem interesses financeiros… Uma editora sem interesses financeiros é uma editora falida. Além disso não me interessa se o editor quer cometer suicídio financeiro ou quer ficar rico, eu pergunto qual é a diferença entre dois títulos.

…  marketing… O quê um rotulamento acrescenta à análise de diferenças entre dois títulos?

Só as respostas da Vera Lúcia, do Luiz Fernando e do Antonio Luiz trazem pequenos elementos de análise mais concreta (e são estas pessoas que ganham o ponto). Há em respostas deles as observações sobre pontos seguintes: “a arte” sugere solução de algum mistério; o título brasileiro sugere a existência de soluções genéricas, pacotes - e não de análise de soluções de problemas concretos; e que supostamente (se acreditar no título daqui) …a resolução não está no conhecimento e sim em regra… que o livro mostrará.

Meus comentários
O primeiro título mesmo sem o ponto de interrogação tem forma de uma pergunta – e por isso é convidativo. O segundo mais anuncia do que convida. O primeiro é fácil de associar com questões matemáticas, o segundo implica um grau de generalidade, incentiva portanto as interpretações mais abrangentes (por exemplo, sobre soluções de problemas no convívio social ou de cunho material). O primeiro usa palavras comuns, no segundo as palavras são mais rebuscadas. Concluindo: o primeiro pergunta e convida (a um trabalho conjunto); o segundo eleva toda questão ao plano mais sofisticado, tem um ar de promessa e de uma eficácia geral.

Vejo aqui que ambos os autores de títulos conheciam as preferências do seu público-alvo. O norte-americano cresce no mundo com um mandamento básico do it yourself – “faça você mesmo”. Os livros que dizem “como fazer” (uma casa, massa muscular, casamento feliz, leite de soja, carreira em grande firma, moldura, computador) vendem sempre. O brasileiro ouve desde a escola primária que “o governo tem que fazer”.

Você aceita a visão e quer culpar os portugueses? Tenho pouco apreço pelas explicações com bases étnicas. Estou convicto que hoje paga-se aqui pelos séculos de preguiça – a preguiça dos ricos, obviamente, possível graças a longa exploração das gerações de escravos, que não tiveram qualquer coisa nem de preguiça nem do mundo de preguiça.

Seguramente você confirmou no mapa que- delicadamente falando – é um grande exagero chamar D.Henrique um “navegador”. Escrevendo estas linhas não tenho ainda em mão as suas respostas mas estou preparado de ouvir sobre a Escola de Sagres – talvez sobre o papel de um administrador no desenvolvimento de ciência… Não há motivos para contestar o papel da Escola na história mundial – sem dúvida a invenção da caravela e uma obstinação em organização de expedições que iriam cruzar os mares influiu na vida da maioria das sociedades de todos os continentes – mas dependendo da fonte de informações o entusiasmo acerca das atividades do D.Henrique pode mudar de volume. Considere estas linhas (John Ure, Dom Henrique o Navegador, Editora UnB, Brasília 1977)

Os antigos biógrafos do Infante D.Henrique escreveram sobre sua Escola de Navegações de Sagres e insinuaram a existência de uma academia de ciências, mais formalizada do que parece ter sido o caso, à luz de estudos mais recentes. Possivelmente, essa especulação reflete a idéia do século dezoito de que todo o ensino sempre estaria mais bem organizado em torno de centros dessa espécie… Os historiadores do século dezenove viram D.Henrique como um cientista e um estudioso avançado de matemática, navegação e cartografia; extrapolaram, a partir de suas próprias idéias, fatos de pouca evidência histórica.

Você já sabe (talvez sempre soube) que o gato de Cheshire tem aquele estranho costume que no começo ele está sumindo e só depois desaparece o sorriso dele; que o criador dele, Lewis Carroll, povoou com ele e com muitas outras estranhas criaturas o livro Alice no País das Maravilhas; que quando abandonava a encarnação de escritor tornava-se Charles Lutwidge Dodgson, matemático especializado em lógica e álgebra; que o seu lado matemático passou sem maior destaque na história (injustamente, por sinal) – mas desde 100 anos produz-se pelo mundo afora os trabalhos de mestrado, doutorado e livre-docência sobre a fantasia, os neologismos, os absurdos e a filosofia contidos nos dois livros infantís escritos por ele…

Por favor, leia com cuidado o que eu escrevi. Se porventura você acredita que foram os visitantes de Aldebaran que as trouxeram para a Terra, mantenha calma. A minha pergunta não toca a sua fé (para qual preservo pleno respeito – calçado em uma sólida camada da indiferença). O exercício não é sobre as crenças pessoais mas sobre a maneira como faz-se uma inferência de um certo p a um certo q. A pergunta significa: se você chamar aquela regra de p e a rejeição da hipótese extraterrestre de q, como conduzir o raciocínio para mostrar que p-->q ? Agora, se na sua vida particular você assume p ou não – isso não me interessa, pelo menos enquanto estou no papel do seu acessor em matemática.