Comprimento de período de 1/p para p primo

A questão é como justificar o seguinte fato (válido em qualquer sistema posicional, mas aqui mostrado para o sistema decimal):

para $ p\in${\fff P} o comprimento $ k$ do período
da representação de $ \frac{1}{p}$ é um divisor de $ p-1$

sem usar as noções da teoria de grupos. Pelo menos na superfície, pois o cerne do argumento é o pequeno teorema de Fermat :

se $ p\in${\fff P} e $ 0<a<p$ então $ a^{p-1}\equiv 1(\!\!\!\!\mod p)$.

Vamos pelos passos pequenos e triviais. Tem que ter um periodo e não pode ser mais longo que p-1, pois no processo de divisão podem aparecer restos entre 1 e p-1, e na primeira reaparição de um deles o ciclo recomeça.

Digamos que obtivemos o periodo $ a_{1}\cdots a_{k}$. Trate este bloco de algarismos como número n em notação decimal. Isso significa que

$\displaystyle \frac{1}{p}=n\cdot\frac{1}{10^{k}}+n\cdot\frac{1}{(10^{k})^{2}}+\cdots= \frac{n}{10^{k}}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{10^{k}}}=\frac{n}{10^{k}-1}. $

Portanto, $ pn+1=10^{k}$, ou    $ 10^{k}\equiv 1(\!\!\!\!\mod p).$
Agora, pode-se reformular a frase
$ k\vert p-1$
dizendo
$ mdc(k,p-1)=k$.
Contradizer esta afirmação significaria dizer
$ mdc(k,p-1)=l<k$.
Mas a identidade de Bézout garante a existência de $ \alpha$ e $ \beta$ inteiros tais que $ k\alpha+(p-1)\beta=l$. Nesse caso ter-se-ia $ 10^{l}\equiv(10^{k})^{\alpha}\cdot(10^{p-1})^{\beta}\equiv1(\!\!\!\!\mod p)$. Mas isto quer dizer que na $ l$-ésima divisão por $ p$ reaparece o resto $ 1$, contradizendo a hipótese que $ k$ é o periodo.

Freqüentemente chama atenção o fato que surge uma permutação cíclica de algarismos de $ \frac{1}{p}$ quando considera-se $ \frac{s}{p}$ com $ 1<s<p$.
Multiplique a expressão obtida para $ \frac{1}{p}$ por $ 10^{t}$ com algum $ 1<t<p$. Jogue fora $ [10^{t}\cdot\frac{1}{p}]$ (a parte inteira) - e você fica com $ \frac{s}{p}$ onde $ 10^{t}\equiv s(\!\!\!\!\mod p)$.

Fpolis, 1998

Acrescentei aqui tabela que na linha n mostra quais são os primos que dividem 10n-1 e não apareceram como divisores do número desta forma com expoente menor; portanto para tal primo p o número n é o comprimento do seu período.

Fpolis, 2010